حل فعالیت صفحه 133 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 133 - فعالیت 1 در این فعالیت، هدف درک تفاوت بین **جایگشت** و **ترکیب** است. وقتی به شش عدد موجود در هر ستون نگاه می‌کنیم، متوجه می‌شویم که ارقام به کار رفته در تمام اعداد آن ستون **یکسان** هستند. ویژگی اصلی این است که در هر ستون، فقط **جایگاه ارقام** تغییر کرده است. به عبارت دیگر، هر ستون شامل تمام **جایگشت‌های** ممکنِ ۳ رقم متمایز است. چون تعداد جایگشت‌های ۳ شیء برابر با $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$ است، در هر ستون ۶ عدد قرار گرفته است. مثلاً در ستون اول، ارقام {۱، ۲، ۳} ثابت هستند و فقط با جابجایی آن‌ها، ۶ عدد مختلف ساخته شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 133 - فعالیت 2 در مجموعه‌ها، **ترتیب قرارگیری اعضا اهمیت ندارد**. یعنی مجموعه $$\text{\{1, 2, 3\}}$$ با $$\text{\{3, 2, 1\}}$$ هیچ تفاوتی ندارد و هر دو یکسان هستند. بنابراین برای نوشتن زیرمجموعه‌ها، از هر ستون جدول فعالیت ۱ (که اعضای یکسانی دارند) فقط **یک مورد** را به عنوان زیرمجموعه انتخاب می‌کنیم. چون ۱۰ ستون داریم، پس تعداد زیرمجموعه‌های ۳ عضوی برابر با **۱۰** خواهد بود. لیست زیرمجموعه‌ها: ۱. $$\text{\{1, 2, 3\}}$$ ۲. $$\text{\{1, 2, 4\}}$$ ۳. $$\text{\{1, 2, 5\}}$$ ۴. $$\text{\{1, 3, 4\}}$$ ۵. $$\text{\{1, 3, 5\}}$$ ۶. $$\text{\{1, 4, 5\}}$$ ۷. $$\text{\{2, 3, 4\}}$$ ۸. $$\text{\{2, 3, 5\}}$$ ۹. $$\text{\{2, 4, 5\}}$$ ۱۰. $$\text{\{3, 4, 5\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 133 - فعالیت 3 تفاوت اصلی در **اهمیت ترتیب** است: * در **فعالیت ۱**، هدف ساختن «عدد» بود. در عدد نویسی، جایگاه رقم‌ها مهم است (مثلاً ۱۲۳ با ۳۲۱ متفاوت است). به این انتخاب‌های مرتب، **جایگشت** می‌گوییم. * در **فعالیت ۲**، هدف ساختن «مجموعه» بود. در مجموعه، جابجا کردن اعضا، مجموعه جدیدی ایجاد نمی‌کند. به این انتخاب‌های بدون ترتیب، **ترکیب** می‌گوییم. به همین دلیل در فعالیت اول ۶۰ حالت داشتیم، اما در فعالیت دوم هر ۶ حالت مشابه، تنها ۱ حالت (زیرمجموعه) را تشکیل دادند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 133 - فعالیت 4 همان‌طور که توضیح دادیم، تمام اعداد موجود در یک ستون از ارقام یکسانی ساخته شده‌اند. در دنیای مجموعه‌ها، ترتیب اعضا مهم نیست. پس هر ۶ عدد موجود در هر ستون فعالیت ۱، در نهایت فقط نشان‌دهنده **۱** زیرمجموعه در فعالیت ۲ هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 133 - فعالیت 5 چون هر ۶ حالت در فعالیت ۱ تبدیل به ۱ حالت در فعالیت ۲ شده است، باید تعداد کل حالت‌های فعالیت ۱ (یعنی ۶۰) را بر عدد **۶** تقسیم کنیم تا تعداد زیرمجموعه‌ها (۱۰) به دست آید. $$60 \div 6 = 10$$ این عدد ۶ در واقع همان **تعداد جایگشت‌های ۳ عضو** است که از طریق **$$3!$$** (۳ فاکتوریل) به دست می‌آید: $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$ به طور کلی برای تبدیل تعداد جایگشت‌ها ($$P(n, r)$$) به تعداد ترکیب‌ها (زیرمجموعه‌ها)، باید مقدار جایگشت را بر $$r!$$ تقسیم کنیم.